【量子系列】量子相位估計

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【量子系列】量子相位估計

卷期：v0078
出版日期：2026-09-20

作者：許曄琳 / 臺大物理系作業組研究助理

摘要

本文介紹量子相位估計(Quantum phase estimation, QPE)演算法與其量子線路設計，說明其如何透過受控單位算符冪次序列與量子傅立葉轉換操作來估算系統算符本徵值，並簡要分析其優缺點與應用意義。

簡介

很多物理、化學、與數學計算中的問題都需要萃取酉算符(unitary operator)的本徵值(eigenvalue)。例如基本的量子動力學對某一系統的酉算符 $U = e^{- i H t}$ ，其中H表示系統總能量的Hamiltonian，t表示時間。欲知其本徵基底量子態 $| ψ ⟩$ 隨時間的變化需求H的本徵值：

U ψ = e^{i ϕ} ψ = e^{i 2 π θ} ψ

(1)

這裡的ϕ就含有本徵值的資訊。因為酉算符U的本徵值 $e^{i ϕ}$ 的相位具有週期性，嚴格來說相位並非唯一。簡易起見，我們定義 $ϕ = 2 π θ$ ，θ則是介於0與1的實數。文後將使用θ。這在古典數值計算中一般是困難且吃重但不可避免的過程。例如在量子多體系統，Hamiltonian作用在n個量子位元上，傳統精準對角化一般是 $O (2^{3 n})$ ，是指數級成長。而量子相位估計(quantum phase estimation, QPE)理論上可達到poly(n) $• O$ (1/ϵ)，ϵ為預定誤差[Ref. 1]。其他量子演算法，例如Shor因式分解、量子線性方程(HHL)、量子振幅估計(quantum amplitude estimation)等，QPE也是核心角色。

相位的量子位元表示形式

相位θ一般以二進位表示。若以n位元表示：

θ \equiv | a_{1} \dots a_{n} ⟩\equiv a_{1} • 2^{-1} + \dots + a_{n} • 2^{- n}

(2)

舉例實數0.78125的二進位可以表示成0.110010，以量子位元編碼則是 $| 110010 ⟩$ 。

QPE演算法

觀察式(1)，如果將酉算符U做用k次於一量子態 $| k ⟩$ ：

U^{k} | k⟩ = e^{i 2 π k θ} | k⟩

(3)

再將k從 $| 0 ⟩$ 到 $| 2^{n} - 1 ⟩$ 加入規一化係數線性疊加，可以得到量子傅立葉轉換(quantum Fourier transform, QFT)的數學結構：

\frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} U^{k} |k⟩ = \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} e^{i 2 π k θ} |k⟩ \equiv QFT | θ⟩

(4)

由式(4)，我們可以使用一組輔助的位元 $|k⟩$ 與 | ψ ⟩做張量積來構思QPE的量子線路：

\frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} U^{k} |k⟩ | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} e^{i 2 π k θ_{k}} | k ⟩| ψ ⟩\equiv QFT | θ ⟩ | ψ⟩

(5-1)

$| θ ⟩ | ψ ⟩ = {QFT}^{†} (\frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} U^{k} | k ⟩ | ψ ⟩)$

(5-2)

式(5-1)和式(5-2)可由Fig. 1的量子線路實現； Fig. 1綠色方塊的部分為式(5-1)，橘色的方塊為式(5-2)。圖中以n=3量子位元來示意。

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Fig. 1: QPE量子線路 [Ref. 2]

首先，輔助量子位元初始狀態為 | 0 ⟩。欲將其改變成 $\frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} | k ⟩$ ，可在每一量子位元先安置一個Hadamard量子位元閘，如藍色虛線框內。
第二步為「受控單位算符冪次序列操作」(controlled sequence of unitary powers)，依序在第m個量子位元施加 $U^{2^{m}}$ 的受控操作，如綠色方塊內所示。我們以n=3來解釋該線路如何作用，如Fig. 2(a)-(h)。只有在輔助單位位元為 | 1 ⟩時，其所對應的 $U^{2^{m}}$ 才起作用。如此U的總次數與輔助量子位元量子態的二進位相符。


(a)	(b)

(c)	(d)

(e)	(f)

(g)	(h)
Fig. 2: 受控單位算符冪次序列操作解析 [Ref. 2]

在建構了式(5-1)後，最後只需反量子傅立葉轉換(如橘色方框內線路)，並對輔助位元做量測，即可得到 | θ ⟩。

受控單位算符冪次序列操作是QPE的核心。這個線路設計令該演算法不需將矩陣對角化而能估算本徵值。即使輸入的 | ψ ⟩ 不是U的本徵基底，由於任意量子態皆可由本徵基底線性疊加，QPE仍舊可以達到估算本徵值的目的。

優缺點

從上述量子線路，我們可看出QPE的最顯著的優點在可以以確定性的方式逼近本徵值，在理想無誤差的硬體條件下，能達到接近海森堡極限的測量精度(Heisenberg limit)[Ref .3]。因此在容錯量子(fault-tolerant)計算架構下，QPE被視為估算本徵值的標準方法。跟其他量子演算法相比，例如變分量子本徵值求解器(variational quantum eigensolver)，QPE不依賴經典的最佳化程序，亦不涉及成本函數的優化地形(cost function landscape)，因此不存在變分演算法常見的barren plateau問題。另一方面，QPE使用n個估計量子位元，理論上即可得到n位元的二進位精準度。具有指數精確度優勢。

然而由Fig. 1的線路我們也可以看到QPE明顯的缺點。其核心需要實作大量的受控單位算符冪次序列操作，導致電路深度會隨相位需求的精確度快速增加。而QFT量子線路亦是高深度的線路。這對量子位元相干時間與閘門精確度提出極高要求。因此在當前NISQ (noisy intermediate-scale quantum)的硬體幾乎很難實現QPE。另外，QPE假設輸入態 | ψ ⟩能被目標算符的本徵態線性疊加，但在實際物理問題中，本徵態(尤其是基態)的準備本身往往極具挑戰性。因此，現階段多由變分類型的量子演算法類替代。