作者：許曄琳/臺灣大學物理系作業組研究助理
中性原子因其可擴充性和實現高相干時間的潛力，而被認為是一種量子計算平台極具前景的方法。本文著重描述如何操控單一中性原子並將電子激發至高主量子數的Rydberg態，原子之間可藉由凡德瓦力產生強相互作用，從而阻止相鄰原子同時被激發至Rydberg態。此特性能被用於設計並執行雙位元量子閘，達成高速且高保真度的量子操作。
引言：中性原子作為量子位元的優勢
中性原子(neutral atom)量子位元(qubit)近幾年迅速成為量子計算領域中極具潛力且可擴展的閘極型量子電腦量子計算平台(gate-based quantum computing platform)。透過光束操縱單一中性原子，該量子計算平台潛在具有操控多達數千個量子位元的能力，且無須後端電子電路的控制。該技術在超導、離子井、矽自旋量子位元、光子及氮-空缺中心量子位元等其他物理平台中展現出獨特的優勢[1-5]。中性原子系統的一大優勢在於自然界本身提供了完全相同的量子位元，無需像超導量子位元或矽基量子位元等人造原子平台那樣，透過精密的製造工藝來減少異質性。這種內在的均勻性有助於在量子運算過程中實現更低的錯誤率。此外，中性原子量子處理器擁有高度的量子位元連接性，並且能夠原生實現多量子位元閘操作，從而提升計算效率。該平台同時具備較長的量子位元相干時間與快速的閘操作，已報導的遲豫時間($T_1$) 超過1秒，非均勻退相干時間($T_2^\ast$)可達40秒[6][注1]，閘操作(gate operation)時間短至約9奈秒。目前的運行系統已成功實現對100至300個原子陣列的控制，展現出大規模量子計算的可擴展性與潛力[1]。
量子位元閘：量子計算的基本元素
量子閘(quantum gate)可以改變量子位元的狀態，是設計量子計算平台的基本元素，類似於古典計算中的邏輯閘。單量子位元閘（single qubit gate）和雙量子位元閘(two-qubit gate）是操作量子位元的核心單位。單量子位元閘是作用在一個量子位元的操作，例如翻轉位元態 (state；$\left|0\right\rangle$ 或 $\left|1\right\rangle$) 或是改變相位。雙量子位元閘是牽涉在兩個量子位元的操作，可允許一個量子位元決定另外一個量子位元的位元態[注2]。而三量子位元閘或是更多位量子位元閘可以拆解成單量子位元閘和雙量子位元閘的組合。 當選定一個物理系統的two-level system作為量子位元後，必須根據此系統物理特性設計單量子位元閘與雙量子位元閘。其中雙量子位元閘的設計實現極具挑戰性。以中性原子為量子位元，單量子位元閘可以利用雷射頻率和極化（polarization）改變原子的位元態；雙量子位元閘則利用Rydberg阻塞(Rydberg blockade)來讓兩個原子產生聯動的位元態。 在中性原子量子位元計算平台中，依於Rydberg阻塞量子現象最直接能設計的雙量子位元閘為controlled-Z (CZ) 閘，是為最基礎的雙量子位元閘。其他雙量子位元閘，例如常見的controlled-NOT (CNOT) 閘和SWAP 閘，均可以用CZ閘和單量子位元閘門組合而成。
CZ閘
CZ 閘的真值表如Fig. 1。若一個雙量子位元態為 $\left| ct \right\rangle$，第一個量子位元 $\left| c \right\rangle$為控制位元(control qubit)，第二個量子位元 $\left| t \right\rangle$ 為目標位元(target qubit)。只有當控制位元與目標位元都是1的時候，該雙位元量子態的相位才會翻轉180度。
Fig. 1: CZ閘的真值表。
Rydberg 阻塞：中性原子CZ閘的核心
當原子中的一個電子被激發至主量子數較高能量(但未游離)的狀態時，該狀態被稱為Rydberg state (Fig. 2)。在此狀態中，電子與原子核的距離也變得較大(Fig. 2)。Rydberg state在量子閘雙量子位元閘的實作中扮演了重要角色[7]。Rydberg state 是指原子處於極高能量激發狀態，對應的電子主量子數（類波耳模型中的電子層位置）通常大於50。被激發至Rydberg state的原子具有較大的電子軌道，這意味著它具有較大的偶極矩，從而在鄰近原子之間產生強烈的凡德瓦(Van der Waals interaction)相互作用。這種長程相互作用會阻止足夠接近的原子同時被激發至Rydberg state，這一現象被稱為Rydberg阻塞 ，如Fig. 3所示。在Fig. 3(a)中，假設在一個原子中，基態為$\left|g\right\rangle$，Rydberg態為$\left|r\right\rangle$。這兩個態透過拉比頻率(Rabi frequency) Ω[注3]耦合。考慮一個二原子系統，其組建的基底(basis)則為$\left|gg\right\rangle$, $\frac{1}{\sqrt2}(|gr\ket+|rg\ket)$, 和$\left|rr\right\rangle$。如Fig. 3(b)所示，當兩個原子靠近至一定距離時(Rydberg blockade radius R_b (Fig. 3(c)))，原本的$\left|rr\right\rangle$會因為凡德瓦力升高，以至於$\mathrm{\Omega}$的光子無法將電子從$\frac{1}{\sqrt2}\left(\left|gr\right\rangle+\left|rg\right\rangle\right)$躍遷至$\left|rr\right\rangle$。換句話說，在這個雙原子系統中，只有$\left|gg\right\rangle$和$\frac{1}{\sqrt2}\left(\left|gr\right\rangle+\left|rg\right\rangle\right)$兩個狀態。
Fig. 2: Rydberg state 示意圖。
Fig. 3: 當二個中性原子距離夠接近時，若其一被激發至Rydberg state，另一則無法被激發。$R_b$為Rydberg blockade radius。(摘錄自[1]的Fig. B1)
CZ閘在中性原子位元平台的實現
在中性原子量子位元平台，一般在較低的主量子態選擇兩個能階成為 $\lvert 0 \rangle$ 與$\lvert 1 \rangle$，而較高的Rydberg state$\lvert r \rangle$是用來做雙量子位元閘的中跳板。我們可以經由調整 $\lvert 0 \rangle$ 與 $\lvert r \rangle$ 這兩個能階的拉比頻率 $\Omega$ 使得只有當電子處在 $\lvert 0 \rangle$ 時才可以被激發至 Rydberg state $\lvert r \rangle$。（也就是說 $\lvert 0 \rangle$ 與 $\lvert 1 \rangle$ 之間是由其他頻率光子來控制的。）接下來我們由 Fig.~4 依兩個中性原子的初始雙位元量子態解釋如何用調整雷射使得最終雙位元量子態與 CZ 的真值表一致。控制的雷射波序列如Fig.3(a)所示。
- 在Fig.4(b)，當控制位元是0，目標位元是0時，即雙位元量子態為 $\ket{00}$，第一個 $\pi$-pulse 將控制位元的電子從 $\ket{0}$ 激發至 $\ket{r}$，第二個 $\pi$-pulse 將電子從 $\ket{r}$ 去激發至 $\ket{0}$，且相位改變180度。而目標位元因為 Rydberg 阻塞，電子並無躍遷。於是該雙位元量子態變成 $-\ket{00}$。
- 在Fig.4(c)，當控制位元是0，目標位元是1時，即雙位元量子態為 $\ket{01}$，第一個 $\pi$-pulse 將控制位元的電子從 $\ket{0}$ 激發至 $\ket{r}$，第二個 $\pi$-pulse 將電子從 $\ket{r}$ 去激發至 $\ket{0}$，且相位改變180度。而 $2\pi$-pulse 對目標位元的 $\ket{1}$ 無作用。於是該雙位元量子態變成 $-\ket{01}$。
- 在Fig.4(d)，當控制位元是1，目標位元是0時，即雙位元量子態為 $\ket{10}$，$\pi$-pulse 對控制位元無作用，而 $2\pi$-pulse 將目標位元的電子從 $\ket{0}$ 激發至 $\ket{r}$ 再去激發至 $\ket{0}$，且相位改變 180度。於是該雙位元量子態變成 $-\ket{10}$。
- 在Fig.4(d)，當控制位元是1，目標位元是1時，即雙位元量子態為 $\ket{11}$，無論 $\pi$-pulse 或 $2\pi$-pulse 都對兩個原子中的電子沒有作用。該雙位元量子態依舊是 $\ket{11}$。
只需將上述雙位元量子態改變全域的180度相位，即可得到Fig. 1的真值表結果。
Fig. 4: 利用雷射控制雙量子位元閘中的電子躍遷示意圖。部分圖來自[8]。
結語
中性原子可被激發至Rydberg態，以創建兩個中性原子位元態的關聯，從而實現雙量子位元的量子閘操作。我們展示如何使用一序列的雷射波和Rydberg阻塞現象來設計並實作CZ閘。
註 1：遲豫時間 ($T_1$) 與非均勻退相干時間 ($T_2^\ast$) 是實現高精度與高穩定性量子位元的關鍵參數。如下圖 (a)，$T_1$ 表示量子位元從激發態 $\ket{1}$ 自然衰退到基態 $\ket{0}$ 的時間，涉及能量損失。$T_2$ 是量子位元在疊加態（例如 ($\ket{0} + \ket{1}$)）中保持相位相干性的時間，不涉及能量流失。 如下圖 (b)，(\ket{0} + \ket{1}) 的狀態只改變了相位，並未改變 $\ket{0}$ 與 $\ket{1}$ 的組成比例。$T_2$ 只考慮了量子位元物理系統的干擾，而 $T_2^\ast$ 則計入來自量子位元所處環境的影響，更符合實際操作時觀測到的退相干時間。
(由[8]中的Fig.1修改而成)
註 2：常見的單量子位元閘有 X-gate、Y-gate、Z-gate、Hadamard-gate 等。常見的雙量子位元閘如 CNOT-gate（當控制位元為 $\ket{1}$ 時，目標位元的狀態會翻轉）和 CZ-gate（當控制位元和目標位元皆為 $\ket{1}$ 時，最終態會是 $-\ket{11}$，如圖 4）。
註 3：拉比頻率（Rabi frequency）$\Omega$ 是量子力學中描述一個 two-level system（例如量子位元）受外力驅動（如光子、電場等）作用下，其量子態在 $\ket{0}$ 與 $\ket{1}$ 之間震盪的頻率。
參考資料
[1] “Quantum computing with neutral atoms,” Quantum 4, Article number:327 (2020).
[2] “High-fidelity parallel entangling gates on a neutral-atom quantum computer,” Nature 622, pages 268–272 (2023).
[3] “A compact neutral-atom fault-tolerant quantum computer based on new quantum codes,” Nature Physics 20, pages 1059–1060 (2024).
[4] “Multi-qubit entanglement and algorithms on a neutral-atom quantum computer,” Nature 604, pages 457–462 (2022).
[5] “Neutral atom quantum computing hardware: performance and end-user perspective,” EPJ Quantum Technology 10, Article number: 32 (2023).
[6] “Assembly and coherent control of a register of nuclear spin qubits,” Nat Commun 13, 2779 (2022).
[7]“Entanglement of two individual neutral atoms using Rydberg blockade,” Physical Review Letters 104(1):010502.
[8] https://pennylane.ai/qml/demos/tutorial_neutral_atoms
[9] arXiv:2202.04474