【量子系列】量子科技簡介_ 量子電路簡介及設計(一)

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【量子系列】量子科技簡介_ 量子電路簡介及設計(一)

卷期：v0064
出版日期：2023-03-20

作者：張晏瑞 / 臺灣大學IBM量子電腦中心研究助理

量子理論描述了微觀世界行為，量子計算是一個當紅研究領域，採用量子疊加和糾纏特性來執行計算任務，專注於創建基於量子理論概念的運算技術。針對特定複雜問題效率遠高於傳統計算任務。這些技術可能看起來難以想像或遙遠，但將會是我們未來日常生活的不可或缺的部分。量子電腦的發現代表了計算能力的重大進步，對於特定的應用案例具有巨大的性能優勢，量子計算都可以介入以加速耗時、乏味、複雜關鍵的過程，可以帶來無與倫比的速度和非凡的算法能力。本文將以淺顯易懂的方式，從頭介紹量子計算的底層原理，以建立之後學習的基礎。

量子電腦簡介（一）

Q：量子電腦有什麼問題，我們古典電腦有什麼不同？

古典與量子電腦在科技的表現不同，但基礎觀念是相通的，要理解認識量子電腦要先從本質上認清兩者的異同。

古典位元VS量子位元

我們古典電腦的基本操作，基於馮紐曼架構(Von Neumann architecture)，將資訊以二進位表示，藉由 0 或 1 狀態表示儲存在古典位元(bit)中，運用一資訊位元只可以處於兩種狀態，要不是 0 就是 1，可以表達開關，也可以表達 2 個數字，若取兩個位元可以 4 個數字（00：”0”、01:”1”、10：”2”、11：“3“），有就是 n 個位元可以表達 2ⁿ 個數字。也可利用多個位元豐富文字或是相關的控制指令，是現代電腦設計的基本原則。但在任何給定時刻裡古典電腦一次只能處理一個輸入。由於這種限制，量子電腦正在計算競賽中扮演遊戲規則改變者的角色。在量子領域，事物的行為方式與我們習慣的可預測方式大不相同。在量子電腦裡計算所使用的基本資訊單位稱為量子位元（qubit），您可以將量子位元視為古典位元的類比物，同樣也使用 0 和 1 的二進制系統對其進行測量。但瘋狂的是他們可以有量子疊加特性，同時表示 0 和 1的狀態。這多麽令人驚奇，不是嗎？圖1為用一個簡單的球面來說明古典位元與量子位元的不同，該球被稱為布洛赫球面（Bloch Sphere）。若用一顆北極、南極、經緯軸的球體來定義，古典位元只存在南北極兩點，在同一時間存在南極1 或北極0 的其中一個狀態。而量子位元的狀態，可在整個球面的任何一點，點上不同經緯度則會對應到不同比例的 0 與 1 的狀態的機率。為了表示 0 與 1的組合，量子位元為一單位向量，習慣上採用狄拉克符號來表達量子位元的狀態，\(\left.\ |{\psi}\right\rangle\)為量子位元的狀態。在北極 0 與南極 1 分別表示成\(\left.\ |1\right\rangle\) 與 \(\left.\ |0\right\rangle\)，代表在量子位元中對應古典 0 或 1 的狀態，\(\left.\ |{\psi}\right\rangle\)則為表示任意量子位元狀態在\(\left.\ |1\right\rangle\) 與 \(\left.\ |0\right\rangle\)的二維向量組合 \((|\left.\ 0\right\rangle=\left[\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right]\),\(|\left.\ 1\right\rangle=\left[\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right])\) ， \({\alpha}\ 與 β\)分別為在\(\left.\ |1\right\rangle\) 與 \(\left.\ |0\right\rangle\)的分量，也稱為機率振幅。\(\left|\mathbf{\alpha}\right|^\mathbf{2}\) 為在 \(\left.\ |{\psi}\right\rangle\)的狀態下出現\(\left.\ |0\right\rangle\)的機率， \(\left|\mathbf{\beta}\right|^\mathbf{2}\)為出現 \(\left.\ |1\right\rangle\)的機率，兩者機率和為1。

\(\left.\ |{\psi}\right\rangle＝\left.\ \alpha|0\right\rangle+\ \left.\ \beta|1\right\rangle \ =\ \left[\begin{matrix}\alpha\\\beta\\\end{matrix}\right]\)

\(\left|\mathbf{\alpha}\right|^\mathbf{2}+\left|\mathbf{\beta}\right|^\mathbf{2}=1\)

舉例來說，若量子位元狀態為 \(\left. \ \mathbf{|\psi} \right\rangle\mathbf{＝}\mathbf{0.6}\left. \ \mathbf{|0} \right\rangle\mathbf{＋}\mathbf{0.8}\left. \ \mathbf{|1} \right\rangle\)

\(\left. \ |0 \right\rangle\) 的機率為 \(\left| \mathbf{\alpha} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left| \mathbf{0.6} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{= 0.36}\)

\(\left. \ |1 \right\rangle\)的機率為 \(\left| \mathbf{\beta} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left| \mathbf{0.8} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{= 0.64}\)

，此為只能表達0與1的古典位元無法想像的。

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Figure 1 Bloch 球體（from qiskit）

所以想像一下，1個量子位元同時具有\(\left. \ \mathbf{|0} \right\rangle 與\left. \ \mathbf{|1} \right\rangle\)兩種狀態，2個量子位元，每個量子位元個別同時具有\(\left. \ \mathbf{|0} \right\rangle 與\left. \ \mathbf{|1} \right\rangle\)的狀態，整體來看則會同時具備\(\left. \ \mathbf{|00} \right\rangle\mathbf{、}\left. \ \mathbf{|01} \right\rangle\mathbf{、}\left. \ \mathbf{|10} \right\rangle 與\left. \ \mathbf{|11} \right\rangle\)四種狀態的組合，可表示成由\(\left. \ \mathbf{|\psi} \right\rangle\mathbf{＝}\mathbf{a}\left. \ \mathbf{|00} \right\rangle\mathbf{＋}\mathbf{\beta}\left. \ \mathbf{|01} \right\rangle\mathbf{+ \gamma}\left. \ \mathbf{|10} \right\rangle\mathbf{＋}\mathbf{\delta}\left. \ \mathbf{|11} \right\rangle\)，且\(\left| \mathbf{\alpha} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \mathbf{\beta} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \mathbf{\gamma} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left| \mathbf{\delta} \right|^{\mathbf{2}}\mathbf{= 1}\)。若有N個量子位元，量子態則表示成2^N種狀態的組合。由於疊加特性，讓量子電腦具備天然強大的平行計算能力。加上利用量子糾纏特性，進一步提升計算能力以指數級增長。

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Figure 2 雙位元量子態機率示意圖

古典VS 量子邏輯閘

在古典電腦中，資訊的運算與與操作，可以透過邏輯閘（Logical Gate）的運作來完成。常見古典邏輯閘運算有反閘(Not Gate)、及閘(AND Gate)、或閘(OR Gate)、互斥或閘(XOR Gate)，另外也衍伸出反及閘(NAND Gate)、反或閘(NOR Gate)、互斥反或閘(NXOR Gate)等，這些通常為不可逆運算。

在量子電腦中使用可同時存在0和1疊加態的量子位元，與只能為0或1的古典位元大大不同。有如此強大的運算位元，需要量子邏輯閘來實現執行強大的量子計算。前段說明布洛赫球面上一向量可視為量子位元狀態，因此量子邏輯閘操作，可以表示為矩陣並表示為圍繞布洛赫球體的旋轉。最常見的量子邏輯閘在一個或兩個量子位元的上執行，這意味著量子邏輯閘可視為具有可逆性的 2 x 2 或 4 x 4 矩陣來描述。

首先我們先介紹常見的單量子邏輯閘。我們將在這裡看到包立矩陣（Pauli matrix）可以表示一些非常常用的單量子邏輯閘。

X閘由Pauli-X 矩陣表 \(X=\left[\begin{matrix}0&1\\1&1\\\end{matrix}\right]\)
我們可以通過將其狀態向量乘上Ｘ閘矩陣來改變量子位元的狀態，顯示 X-gate 切換了狀態 \(|\left. \ 0 \right\rangle\) 和 \(|\left. \ 1 \right\rangle\)的狀態：
\[{X|\left. \ 0 \right\rangle = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix} = |\left. \ 1 \right\rangle
}\]
\[{X|\left. \ 1 \right\rangle = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} = |\left. \ 0 \right\rangle
}\]
也可以將其視為圍繞Bloch 球體的x 軸旋轉180度。與反閘的類似，X 閘將狀態從 \(|\left. \ 0 \right\rangle\) 更改為 \(|\left. \ 1 \right\rangle\)（反之亦然），這就是它通常也被稱為反閘的原因。

Figure 3 X閘及Z閘 Bloch 球體示意圖
Ｚ閘由Pauli-Ｚ矩陣表示：\(Z=\left[\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right]\)
我們可以通過將其狀態向量乘上Z閘矩陣來改變量子位元的狀態，顯示 Z-gate 切換了狀態 \(|\left. \ 0 \right\rangle\) 和 \(|\left. \ 1 \right\rangle\) 的狀態：
\[{Z|\left. \ 0 \right\rangle = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & - 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} = |\left. \ 0 \right\rangle
}\]
\[{Z|\left. \ 1 \right\rangle = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & - 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix} = - |\left. \ 1 \right\rangle}\]
在Bloch球體中表示繞z軸旋轉180度
阿德瑪閘（Hadamard gate）是基本量子邏輯閘之一，它的矩陣形式：\(H=\frac{1}{\sqrt2}\left[\begin{matrix}1&1\\1&-1\\\end{matrix}\right]\) ，我們可以看到經過執行運算後，
\[{H|\left. \ 0 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & - 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\left. \ 0 \right\rangle + \left| \left. \ 1 \right\rangle \right)
}\]
\[{H|\left. \ 1 \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & - 1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 \\
- 1 \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\left. \ 0 \right\rangle - \left| \left. \ 1 \right\rangle \right)}\]

創建量子疊加態（阿德瑪閘示意圖）
通用量子邏輯閘（Universal gate）, U-gate 是所有單量子位元邏輯閘最通用的形式。它的矩陣形式可表示成：
\(U(\theta,\varphi,\lambda) = \begin{pmatrix}
cos(\frac{\theta}{2}) & - e^{\text{iλ}}sin(\frac{\theta}{2}) \\
e^{\text{iλ}}sin(\frac{\theta}{2}) & e^{i(\varphi + \lambda)}cos(\frac{\theta}{2}) \\
\end{pmatrix}\)，所有單量子邏輯閘都可以用這來表示，但在實用上很少看到這點，因為閱讀起來有點困難。我們可以看到Ｕ-gate經過一些設定後分別等效於Ｘ和Ｈ
\[U\left( \pi,\pi,\frac{\pi}{2} \right) = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
- 1 & 0 \\
\end{pmatrix} = X\]

\[U\left( \frac{\pi}{2},0,\pi\ \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & - 1 \\
\end{pmatrix} = H\]
前面已經看到了單量子位和單量子邏輯閘的一些有趣效果，但量子計算的真正威力是通過量子位之間的相互作用實現的。之後將介紹常用多量子邏輯閘並探索其有趣的行為。

CNOT 閘
為雙量子邏輯閘,有輸入與輸出,其中輸入的位元分別稱作控制位元(control qubit)及目標位元(target qubit)。若控制位元為則目標位元進行反閘(X閘)運算, 反之則目標位元不做任何運算。

“\(\bullet\) ” 控制位元“\(\bigoplus\) ” 目標位元

Figure 4 CNOT 閘表示

CNOT矩陣
\[CNOT = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \begin{matrix}
0 & 0 \\
\end{matrix} \\
0 & 1 & \begin{matrix}
0 & 0 \\
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0 \\
\end{matrix} & \begin{matrix}
0 \\
0 \\
\end{matrix} & \begin{matrix}
\begin{matrix}
0 & 1 \\
\end{matrix} \\
\begin{matrix}
1 & 0 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \\
\end{bmatrix}\]

舉例來說：CNOT運算: \(CNOT|\left. \ q_{1}q_{0} \right\rangle\)
輸入為\(\left| \left. \ 00 \right\rangle \Rightarrow CNOT \right|\left. \ 00 \right\rangle = |\left. \ 00 \right\rangle\)

輸入為\(\left| \left. \ 01 \right\rangle \Rightarrow CNOT \right|\left. \ 01 \right\rangle = |\left. \ 11 \right\rangle\)

輸入為\(\left| \left. \ 10 \right\rangle \Rightarrow CNOT \right|\left. \ 10 \right\rangle = |\left. \ 10 \right\rangle\)

輸入為\(\left| \left. \ 11 \right\rangle \Rightarrow CNOT \right|\left. \ 11 \right\rangle = |\left. \ 01 \right\rangle\)
CZ 閘
控制Z閘 (CZ Gate)為雙量子邏輯閘,當控制位元為1時則目標位元進行Z閘操作，運作方式：

\(\alpha\left. \ |00 \right\rangle + \beta\left. \ |01 \right\rangle + \gamma\left. \ |10 \right\rangle + \delta\left. \ |11 \right\rangle\)
\(\overset{\text{cz}}{\rightarrow}\alpha\left. \ |00 \right\rangle + \beta\left. \ |01 \right\rangle + \gamma\left. \ |10 \right\rangle - \delta\left. \ |11 \right\rangle\)

Figure 5 CZ閘表示
Toffoli閘（或稱CCNOT閘）
為三量子位元閘,有兩個控制位元與一個目標位元。目標位元是否進行運算須由兩個控制位元一起決定，兩控制位元皆為1則目標位元進行運算；反之則無。其他常用量子邏輯閘礙於篇幅關係，只能先整理列表，請大家參考。